【2024考研数二标准答案】
一、选择题（每题5分，共15分）
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$，则$f'(0) = \boxed{0}$。
2. 设向量$\boldsymbol{a} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$，向量$\boldsymbol{b} = \begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$，则$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \boxed{1}$。
3. 设$A$为$3 \times 3$矩阵，$\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3$为标准正交基，若$A\boldsymbol{e}_1 = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$，$A\boldsymbol{e}_2 = \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}$，$A\boldsymbol{e}_3 = \begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}$，则$A^2 = \boxed{\begin{pmatrix}10\\10\\10\end{pmatrix}}$。
二、填空题（每题5分，共20分）
4. 设$f(x) = \ln(x+1)$，则$f''(0) = \boxed{\frac{1}{4}}$。
5. 设$A$为$3 \times 3$矩阵，$A$的行列式值为2，则$A^{-1}$的行列式值为$\boxed{2}$。
6. 设$z = \ln(x^2 + y^2)$，则$\frac{\partial z}{\partial x} = \boxed{\frac{2x}{x^2 + y^2}}$。
7. 设$f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$，则$f'(0) = \boxed{-2}$。
三、解答题（每题20分，共60分）
8. （线性代数）设$\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，求$\boldsymbol{A}$的特征值和特征向量。
9. （微积分）设$f(x) = e^x \sin x$，求$f'(x)$。
10. （概率论与数理统计）设随机变量$X$服从正态分布$N(0,1)$，求$P(X > 1)$。
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