在2012年的考研数学中，证明不等式题目通常要求考生运用高等数学中的理论和方法，如微积分、线性代数等。以下是一个原创的解题示例：
题目：证明对于所有正实数 \( x \) 和 \( y \)，不等式 \( x^2 + y^2 \geq 2xy \) 恒成立。
解题过程：
1. 构造函数：定义函数 \( f(x, y) = x^2 + y^2 - 2xy \)。
2. 求偏导数：计算 \( f \) 对 \( x \) 和 \( y \) 的偏导数，得到 \( f_x = 2x - 2y \) 和 \( f_y = 2y - 2x \)。
3. 求临界点：令 \( f_x = 0 \) 和 \( f_y = 0 \)，解得 \( x = y \)。
4. 二阶导数检验：计算 \( f \) 的二阶偏导数，得到 \( f_{xx} = 2 \)，\( f_{yy} = 2 \)，\( f_{xy} = -2 \)。计算 \( D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 4 - 4 = 0 \)。
5. 分析临界点：由于 \( D = 0 \)，需要进一步分析 \( f \) 在 \( x = y \) 时的值。计算 \( f(x, x) = x^2 + x^2 - 2x^2 = 0 \)。
6. 结论：因为 \( f(x, y) \) 在所有正实数 \( x \) 和 \( y \) 的取值下都大于等于0，所以 \( x^2 + y^2 \geq 2xy \) 对所有正实数 \( x \) 和 \( y \) 恒成立。
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