2020年考研数学三第15题是一道关于多元函数微分学的题目。题目要求计算函数 \( f(x, y) = e^{x+y} \) 在点 \( (1, 2) \) 处沿向量 \( \mathbf{v} = (2, 1) \) 的方向导数。解题步骤如下：
1. 首先求出函数 \( f(x, y) \) 的偏导数：
\[ f_x' = \frac{\partial}{\partial x} e^{x+y} = e^{x+y} \]
\[ f_y' = \frac{\partial}{\partial y} e^{x+y} = e^{x+y} \]
2. 计算向量 \( \mathbf{v} \) 的模长和单位向量：
\[ |\mathbf{v}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} \]
\[ \mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} = \left( \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}} \right) \]
3. 利用方向导数的定义，计算 \( f \) 在点 \( (1, 2) \) 处沿向量 \( \mathbf{v} \) 的方向导数：
\[ D_{\mathbf{v}}f(1, 2) = f_x'(1, 2) \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} + f_y'(1, 2) \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \]
\[ D_{\mathbf{v}}f(1, 2) = e^{1+2} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} + e^{1+2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \]
\[ D_{\mathbf{v}}f(1, 2) = e^3 \cdot \frac{3}{\sqrt{5}} \]
因此，2020年考研数学三第15题的答案是 \( \frac{3e^3}{\sqrt{5}} \)。
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