在探索考研数学极限问题的征途上，以下是一道经典的真题及解析：
真题：
计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x) - \sin(x)}{x}\)。
解答：
利用洛必达法则或三角函数的和差化积公式进行求解。这里选择使用和差化积公式：
\[
\sin(2x) - \sin(x) = 2\sin\left(\frac{3x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin(x)
\]
将其代入极限表达式：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{2\sin\left(\frac{3x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) - \sin(x)}{x}
\]
当 \(x\) 趋近于0时，\(\sin\left(\frac{3x}{2}\right)\) 和 \(\cos\left(\frac{x}{2}\right)\) 都趋近于1，因此极限可以简化为：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{2 - \sin(x)}{x}
\]
再次使用洛必达法则：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{2\cos(x)}{1} = 2
\]
所以，\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x) - \sin(x)}{x} = 2\)。
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