在深入解析2021年考研数学二中的二重积分问题时，考生需要熟练掌握积分区域的划分和积分技巧。对于这类问题，首先要明确积分区域，然后选择合适的积分顺序和积分方式。以下是一个典型例题的解答：
例题：设函数 \( f(x, y) = x^2 + y^2 \)，计算二重积分 \( \iint_D f(x, y) \, dA \)，其中 \( D \) 是由 \( y = x \) 和 \( y = 2x \) 所围成的区域。
解答：
1. 确定积分区域：首先，绘制 \( y = x \) 和 \( y = 2x \) 的图像，找出它们的交点。解方程组 \( \begin{cases} y = x \\ y = 2x \end{cases} \) 得到交点 \( (0, 0) \) 和 \( (1, 2) \)。
2. 设定积分限：由于 \( y = x \) 和 \( y = 2x \) 在 \( x \) 轴上的交点分别是 \( (0, 0) \) 和 \( (1, 2) \)，因此积分限为 \( x \) 从 0 到 1，对于每个 \( x \)，\( y \) 从 \( x \) 到 \( 2x \)。
3. 计算二重积分：
\[
\iint_D f(x, y) \, dA = \int_0^1 \int_x^{2x} (x^2 + y^2) \, dy \, dx
\]
先对 \( y \) 积分：
\[
\int_x^{2x} (x^2 + y^2) \, dy = x^2 \int_x^{2x} dy + \int_x^{2x} y^2 \, dy = x^2 (2x - x) + \left[ \frac{y^3}{3} \right]_x^{2x} = x^3 + \frac{7x^3}{3} = \frac{10x^3}{3}
\]
再对 \( x \) 积分：
\[
\int_0^1 \frac{10x^3}{3} \, dx = \frac{10}{3} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{10}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{6}
\]
因此，该二重积分的值为 \( \frac{5}{6} \)。
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