2020年考研数学3真题及答案解析如下：
一、选择题
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则$f'(1)$的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. -2 D. 2
答案：D
2. 下列矩阵中，可逆的矩阵是（ ）
A. $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ B. $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ D. $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$
答案：C
3. 若$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2}$的值为（ ）
A. 0 B. $\frac{1}{2}$ C. 1 D. $\frac{1}{3}$
答案：B
二、填空题
4. 设$a = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$a^2 = \begin{bmatrix} & & \\ & & \\ & & \end{bmatrix}$。
答案：$\begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{bmatrix}$
5. 函数$f(x) = e^x - x$的单调递增区间为（ ）
答案：$(-\infty, +\infty)$
三、解答题
6. 解微分方程$\frac{dy}{dx} = 2x^2y$。
答案：$y = \frac{1}{C - x^3}$
7. 设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
答案：$A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$
8. 设$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，求$f'(x)$和$f''(x)$。
答案：$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，$f''(x) = 6x - 6$
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