2021年数学一考研真题答案解析如下：
一、选择题
1. 解析：本题考查函数极限的计算，利用洛必达法则求解。
答案：D
2. 解析：本题考查二阶线性微分方程的求解，使用特征方程法。
答案：B
3. 解析：本题考查多元函数的偏导数，运用偏导数的定义求解。
答案：C
4. 解析：本题考查矩阵的特征值和特征向量，通过求解特征方程得到结果。
答案：A
5. 解析：本题考查级数的敛散性，运用比值审敛法判断。
答案：D
二、填空题
6. 解析：本题考查泰勒公式的应用，直接代入公式计算。
答案：\( \frac{1}{3} \)
7. 解析：本题考查二重积分的计算，利用极坐标变换求解。
答案：\( -\frac{\pi}{2} \)
8. 解析：本题考查行列式的计算，采用行变换简化计算。
答案：0
三、解答题
9. 解析：本题考查线性方程组的求解，使用克莱姆法则。
解答过程略。
10. 解析：本题考查多元函数的极值问题，首先求偏导数，然后求二阶偏导数，判断极值类型。
解答过程略。
11. 解析：本题考查定积分的计算，运用分部积分法求解。
解答过程略。
12. 解析：本题考查常微分方程的求解，采用变量分离法。
解答过程略。
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