2001年考研数学二第三题是一道关于多元函数微分学的题目。题目内容如下：
已知函数 \( f(x, y) = x^2y + \frac{y^2}{x} \)，其中 \( x > 0 \)。求函数 \( f \) 在点 \( (1, 2) \) 处沿方向 \( \mathbf{u} = (1, -1) \) 的方向导数。
解题步骤如下：
1. 首先计算函数 \( f \) 对 \( x \) 和 \( y \) 的偏导数：
\[ f_x = \frac{\partial}{\partial x}(x^2y + \frac{y^2}{x}) = 2xy - \frac{y^2}{x^2} \]
\[ f_y = \frac{\partial}{\partial y}(x^2y + \frac{y^2}{x}) = x^2 + \frac{2y}{x} \]
2. 将点 \( (1, 2) \) 代入偏导数中，得到：
\[ f_x(1, 2) = 2 \cdot 1 \cdot 2 - \frac{2^2}{1^2} = 4 - 4 = 0 \]
\[ f_y(1, 2) = 1^2 + \frac{2 \cdot 2}{1} = 1 + 4 = 5 \]
3. 计算方向向量 \( \mathbf{u} \) 的单位向量：
\[ \mathbf{u} = (1, -1) \]
\[ |\mathbf{u}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \]
\[ \hat{u} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{-1}{\sqrt{2}} \right) \]
4. 计算方向导数：
\[ D_{\mathbf{u}}f(1, 2) = f_x(1, 2) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + f_y(1, 2) \cdot \frac{-1}{\sqrt{2}} \]
\[ D_{\mathbf{u}}f(1, 2) = 0 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 5 \cdot \frac{-1}{\sqrt{2}} \]
\[ D_{\mathbf{u}}f(1, 2) = -\frac{5}{\sqrt{2}} \]
因此，函数 \( f \) 在点 \( (1, 2) \) 沿方向 \( \mathbf{u} \) 的方向导数为 \( -\frac{5}{\sqrt{2}} \)。
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