2021年数学一考研真题解析如下：
一、选择题（每题5分，共30分）
1. 若函数\( f(x) = e^x \sin x \)的导数\( f'(x) \)在区间[0, π]上的最大值为3，则\( x \)的取值为______。
答案：\( x = \frac{\pi}{2} \)
2. 已知向量\( \mathbf{a} = (1, 2, -1) \)，\( \mathbf{b} = (2, -1, 3) \)，则向量\( \mathbf{a} \)与\( \mathbf{b} \)的夹角余弦值为______。
答案：\( \frac{1}{\sqrt{14}} \)
3. 设\( f(x) \)在\( x = 0 \)处可导，且\( f(0) = 0 \)，若\( f'(x) = 2x^2 - x \)，则\( f(x) \)在\( x = 0 \)处的导数值为______。
答案：0
4. 若函数\( f(x) \)在\( x = a \)处有极小值，则\( f'(a) \)的取值为______。
答案：\( f'(a) = 0 \)
5. 设\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，\( B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \)，则\( AB \)的行列式为______。
答案：0
二、填空题（每题5分，共20分）
6. 设\( f(x) = x^3 - 3x \)，则\( f(x) \)的导数为______。
答案：\( f'(x) = 3x^2 - 3 \)
7. 若\( \int_0^1 x^2 \sin x \, dx = \frac{\pi}{6} \)，则\( \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin x \, dx \)的值为______。
答案：\( \frac{\pi^3}{24} \)
8. 设\( A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \)，则\( A^{-1} \)为______。
答案：\( A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \)
三、解答题（共50分）
9. 解微分方程：\( y'' - 4y' + 4y = 2e^2x \)。
答案：\( y = C_1e^{2x} + C_2e^{2x} \cos 2x + C_3e^{2x} \sin 2x \)
10. 求函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \)的极值点及极值。
答案：极值点为\( x = 0 \)，\( x = 2 \)，极小值为\( f(0) = 4 \)，极大值为\( f(2) = 0 \)
11. 已知矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵\( A \)的特征值和特征向量。
答案：特征值为\( \lambda_1 = 5 \)，\( \lambda_2 = -1 \)，对应的特征向量分别为\( \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)和\( \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} \)
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