在2012年考研数学一中，证明不等式的问题通常涉及高斯不等式、柯西不等式或均值不等式等经典工具。以下是一个原创的解题示例：
题目：证明对于任意正实数\(a, b, c\)，不等式\((a+b+c)^3 \geq 27abc\)恒成立。
解题过程：
1. 首先，利用均值不等式（AM-GM不等式），我们有：
\[
a + b \geq 2\sqrt{ab}, \quad b + c \geq 2\sqrt{bc}, \quad a + c \geq 2\sqrt{ac}
\]
2. 将上述三个不等式相乘，得到：
\[
(a+b)(b+c)(a+c) \geq 8abc
\]
3. 注意到\((a+b+c)^2 = (a+b) + (b+c) + (a+c)\)，因此：
\[
(a+b+c)^3 = (a+b+c)^2(a+b+c) = (a+b) + (b+c) + (a+c) \cdot (a+b+c)
\]
4. 根据均值不等式，\((a+b+c) \geq 3\sqrt[3]{abc}\)，所以：
\[
(a+b+c)^3 \geq 3\sqrt[3]{abc} \cdot (a+b+c)
\]
5. 结合步骤2和步骤4，我们得到：
\[
(a+b+c)^3 \geq 3\sqrt[3]{abc} \cdot 8abc = 24abc
\]
6. 由于\(24abc \geq 27abc\)，因此：
\[
(a+b+c)^3 \geq 27abc
\]
证毕。
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