数学专业考研真题及答案，以下是部分真题及解析：
1. 真题：设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，求$f(x)$的极值点。
答案：对$f(x)$求导得$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = \frac{2}{3}$。当$x < \frac{2}{3}$或$x > 1$时，$f'(x) > 0$；当$\frac{2}{3} < x < 1$时，$f'(x) < 0$。因此，$x = \frac{2}{3}$是$f(x)$的极大值点，$x = 1$是$f(x)$的极小值点。
2. 真题：设$A$为$3 \times 3$矩阵，$A$的行列式$|A| = 0$，证明$A$的任意两个特征值之和为$0$。
答案：由行列式的性质，$|A| = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3$，其中$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$为$A$的特征值。因为$|A| = 0$，所以$\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = 0$。若$\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 \neq 0$，则$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$中必有一个为$0$，与$|A| = 0$矛盾。因此，$\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 0$。
3. 真题：设$P$为单位矩阵，$A$为$n \times n$矩阵，证明$A^2 - A + E = 0$的充要条件是$A$可逆。
答案：必要性：若$A^2 - A + E = 0$，则$A(A - E) = -E$，从而$A$可逆。
充分性：若$A$可逆，则$A - E$可逆，故$(A - E)^{-1} = A^{-1}$。两边同时乘以$A$，得$A^2 - A = E$，即$A^2 - A + E = 0$。
【考研刷题通】——你的考研刷题小助手！涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，海量真题及解析，助你高效备考，轻松上岸！快来体验吧！