2011年考研数学真题详解如下：
一、选择题部分
1. 题目：设函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，则$f'(0)$的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. 0 D. 不存在
答案：C
解析：由导数的定义，$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x^2+1}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{-x^2}{x(x^2+1)}=\lim_{x\to 0}\frac{-x}{x^2+1}=0$。
2. 题目：设$a>0$，$b>0$，则下列不等式中成立的是（ ）
A. $a^2+b^2\geq 2ab$ B. $a^3+b^3\geq 2ab(a+b)$ C. $a^4+b^4\geq 2a^2b^2$ D. $a^5+b^5\geq 2a^3b^2$
答案：B
解析：由均值不等式，$a^3+b^3\geq 3\sqrt[3]{a^3b^3}=3ab$，即$a^3+b^3\geq 2ab(a+b)$。
二、填空题部分
1. 题目：设$f(x)=\ln(x+1)$，则$f'(x)=\frac{1}{x+1}$。
2. 题目：设$a>0$，$b>0$，则$\lim_{x\to \infty}\frac{a^x+b^x}{a^x-b^x}=\frac{a}{b}$。
三、解答题部分
1. 题目：求函数$f(x)=x^3-3x+2$的极值。
答案：$f(x)$在$x=1$处取得极大值$f(1)=0$，在$x=-1$处取得极小值$f(-1)=-4$。
2. 题目：求曲线$y=\frac{1}{x}$在区间$(0,1)$上的弧长。
答案：曲线$y=\frac{1}{x}$在区间$(0,1)$上的弧长为$\int_0^1\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}dx=\int_0^1\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}dx=\int_0^1\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}dx=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\bigg|_0^1=\ln(2)$。
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