在备战考研数学的过程中，综合性难题往往考验着考生的逻辑思维和计算能力。以下是一道典型的考研数学综合性难题：
题目：已知函数$f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2+4x+1$，求证：对于任意实数$x$，都有$f(x)\geq 2$。
证明：
首先，求出函数$f(x)$的导数$f'(x)$：
$$f'(x)=x^2-2x+4$$
接下来，分析导数$f'(x)$的符号：
$$f'(x)=(x-1)^2+3$$
由于$(x-1)^2\geq 0$，所以$f'(x)>0$，即$f(x)$在实数域内单调递增。
再考虑$f(x)$在$x=0$时的值：
$$f(0)=\frac{0^3}{3}-0^2+4\times 0+1=1$$
由于$f(x)$单调递增，且$f(0)=1$，所以对于任意实数$x$，都有$f(x)\geq 1$。
最后，要证明$f(x)\geq 2$，只需证明$f(2)\geq 2$即可。
计算$f(2)$：
$$f(2)=\frac{2^3}{3}-2^2+4\times 2+1=\frac{8}{3}-4+8+1=\frac{15}{3}=5$$
因为$f(2)=5>2$，所以对于任意实数$x$，都有$f(x)\geq 2$。
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