在2021年考研数一真题的第14题中，考生需要解决的是一个涉及多元函数求导的问题。题目给出一个多元函数 \( f(x, y) \) 并要求求出在点 \( (x_0, y_0) \) 处的全微分 \( df \)。
解答过程如下：
首先，设多元函数 \( f(x, y) \) 在点 \( (x_0, y_0) \) 的偏导数分别为 \( f_x' \) 和 \( f_y' \)。根据多元函数全微分的定义，全微分 \( df \) 可以表示为：
\[ df = f_x'(x_0, y_0) dx + f_y'(x_0, y_0) dy \]
接下来，根据题目所给的具体函数 \( f(x, y) \)，我们需要分别求出 \( f_x' \) 和 \( f_y' \)。通常这需要应用链式法则和乘积法则等求导法则。
例如，如果 \( f(x, y) = x^2y + 3xy^2 \)，则：
\[ f_x' = \frac{\partial}{\partial x}(x^2y) + \frac{\partial}{\partial x}(3xy^2) = 2xy + 3y^2 \]
\[ f_y' = \frac{\partial}{\partial y}(x^2y) + \frac{\partial}{\partial y}(3xy^2) = x^2 + 6xy \]
最后，将 \( x_0 \) 和 \( y_0 \) 代入上述偏导数表达式，就可以得到在点 \( (x_0, y_0) \) 处的全微分 \( df \)。
【考研刷题通】：考研路上，刷题是关键。政治、英语、数学，各科目全面覆盖，助你高效备考。现在就下载【考研刷题通】，开启你的刷题之旅！