2015年数学三考研真题及答案如下：
一、选择题
1. 设函数 $f(x) = \frac{1}{x-2}$，则 $f'(2) = \frac{1}{x-2}$ 的导数为 _______。
答案：$\frac{1}{(x-2)^2}$
2. 下列函数中，满足 $f(x+y) = f(x)f(y)$ 的函数是 _______。
答案：指数函数 $a^x$
3. 若 $x^2 + y^2 = 1$，则 $x^2 - y^2$ 的最大值为 _______。
答案：$2$
二、填空题
1. 若 $a+b=2$，$ab=3$，则 $a^2 + b^2$ 的值为 _______。
答案：7
2. 若 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = 9$，则 $\lim_{x \to 0} \frac{\cos 3x}{3x}$ 的值为 _______。
答案：$\frac{1}{3}$
三、解答题
1. 求函数 $f(x) = \ln x - x^2$ 的导数。
答案：$f'(x) = \frac{1}{x} - 2x$
2. 设 $a > 0$，$b > 0$，证明：$\sqrt{a} + \sqrt{b} \geq \sqrt{a+b}$。
答案：由柯西-施瓦茨不等式得：$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 \leq (1^2 + 1^2)(a + b) = 2(a+b)$，即 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2(a+b)}$，又因为 $a+b > 0$，所以 $\sqrt{2(a+b)} \geq \sqrt{a+b}$，所以 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \geq \sqrt{a+b}$。
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