2008年考研数学2第五题解析如下：
题目：设函数$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$，求$f(x)$在区间$[0,1]$上的最大值和最小值。
解析：
1. 首先求出函数$f(x)$的导数$f'(x)$：
$$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+x^2}\right) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}.$$
2. 令$f'(x) = 0$，解得$x = 0$。由于导数的分子中含有$x$，且分母为正，故$x=0$是$f(x)$的临界点。
3. 分析导数的符号变化：
- 当$x < 0$时，$f'(x) > 0$，函数$f(x)$单调递增；
- 当$x > 0$时，$f'(x) < 0$，函数$f(x)$单调递减。
4. 结合临界点和导数的符号变化，可知$f(x)$在$x=0$处取得局部最大值，且为$f(0) = 1$。
5. 由于$f(x)$在区间$[0,1]$上单调递减，故在$x=1$处取得最小值，计算得$f(1) = \frac{1}{2}$。
综上所述，函数$f(x)$在区间$[0,1]$上的最大值为1，最小值为$\frac{1}{2}$。
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