题目：已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，求 \( \int_0^2 f(x) \, dx \)。
解题过程：
首先，根据积分的定义，我们可以将定积分 \( \int_0^2 f(x) \, dx \) 转化为定积分的极限形式：
\[ \int_0^2 f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x \]
其中，\( \Delta x = \frac{2-0}{n} = \frac{2}{n} \)，\( x_i = 0 + i \Delta x = \frac{2i}{n} \)。
接下来，将函数 \( f(x) \) 代入求和式：
\[ \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x = \sum_{i=1}^n \left( \left(\frac{2i}{n}\right)^3 - 3\left(\frac{2i}{n}\right) + 2 \right) \frac{2}{n} \]
\[ = \sum_{i=1}^n \left( \frac{8i^3}{n^3} - \frac{6i}{n} + \frac{4}{n} \right) \]
现在，我们需要计算上述求和式的极限。由于这是一个无穷求和，我们可以将其转化为积分：
\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left( \frac{8i^3}{n^3} - \frac{6i}{n} + \frac{4}{n} \right) = \int_0^2 \left( 8x^3 - 6x + 4 \right) dx \]
计算不定积分：
\[ \int \left( 8x^3 - 6x + 4 \right) dx = 2x^4 - 3x^2 + 4x + C \]
最后，计算定积分：
\[ \int_0^2 \left( 8x^3 - 6x + 4 \right) dx = \left[ 2x^4 - 3x^2 + 4x \right]_0^2 \]
\[ = (2 \cdot 2^4 - 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2) - (2 \cdot 0^4 - 3 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0) \]
\[ = 32 - 12 + 8 \]
\[ = 28 \]
所以，\( \int_0^2 f(x) \, dx = 28 \)。
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