在2020年数学三考研真题中，考生们面临了多道考验逻辑思维和解题技巧的难题。以下是对其中一道典型题目的原创解答：
题目：已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，求$f(x)$的极值。
解答思路：
1. 首先求出函数的一阶导数$f'(x)$，即$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$。
2. 令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = \frac{2}{3}$。
3. 对$f'(x)$求二阶导数，得$f''(x) = 6x - 6$。
4. 将$x = 1$和$x = \frac{2}{3}$分别代入$f''(x)$，得$f''(1) = 0$和$f''(\frac{2}{3}) = -2$。
5. 根据二阶导数判别法，当$f''(x) > 0$时，$f(x)$在该点处取得极小值；当$f''(x) < 0$时，$f(x)$在该点处取得极大值。
6. 因此，$x = 1$是$f(x)$的极小值点，$x = \frac{2}{3}$是$f(x)$的极大值点。
7. 计算极值，得$f(1) = 3$和$f(\frac{2}{3}) = \frac{5}{27}$。
最终答案：$f(x)$在$x = 1$处取得极小值3，在$x = \frac{2}{3}$处取得极大值$\frac{5}{27}$。
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