在考研数三的微积分领域中，以下是一道典型的例题：
例题：
设函数 \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \)，求 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处的泰勒展开式的前三项。
解题过程：
1. 首先计算 \( f(x) \) 及其前两阶导数在 \( x=0 \) 处的值：
\[ f(0) = \frac{1}{1+0^2} = 1 \]
\[ f'(x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2} \]
\[ f'(0) = 0 \]
\[ f''(x) = \frac{2(1-3x^2)}{(1+x^2)^3} \]
\[ f''(0) = 2 \]
2. 根据泰勒公式，函数 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处的泰勒展开式为：
\[ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + o(x^2) \]
3. 将计算出的值代入上式，得到：
\[ f(x) = 1 + 0 \cdot x + \frac{2}{2}x^2 + o(x^2) \]
\[ f(x) = 1 + x^2 + o(x^2) \]
因此，函数 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处的泰勒展开式的前三项为 \( 1, 0, x^2 \)。
【考研刷题通】——你的考研刷题小助手，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，随时随地刷题，助你高效备考，一战成硕！立即体验，开启你的考研之路！微信小程序搜索“考研刷题通”，开启你的考研刷题之旅！