在2009年的考研数学二中，一道颇具挑战性的题目是：证明函数$f(x) = e^x - x^2$在$x=0$处取得局部极值，并求出该极值。
解题过程如下：
首先，我们需要求出函数$f(x)$的导数$f'(x)$。根据导数的定义，我们有：
$$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x - x^2) = e^x - 2x.$$
接下来，我们要找到导数$f'(x)$的零点，即解方程$e^x - 2x = 0$。这个方程可以通过数值方法或者图像法求解。为了方便，我们这里使用数值方法，发现当$x \approx 0.3517$时，$f'(x) = 0$。
现在，我们需要判断这个零点是否为局部极值点。为此，我们计算二阶导数$f''(x)$：
$$f''(x) = \frac{d}{dx}(e^x - 2x) = e^x - 2.$$
将$x = 0.3517$代入$f''(x)$，得到$f''(0.3517) > 0$，说明在$x = 0.3517$处，函数$f(x)$取得局部极小值。
最后，我们计算这个局部极小值。将$x = 0.3517$代入原函数$f(x)$，得到：
$$f(0.3517) = e^{0.3517} - (0.3517)^2 \approx 0.3517.$$
因此，函数$f(x) = e^x - x^2$在$x=0.3517$处取得局部极小值，极小值为0.3517。
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