在探讨考研反常积分的例题时，我们可以从以下角度入手：
例题：已知函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \)，求其在区间 \([1, e^2]\) 上的反常积分 \( \int_1^{e^2} \frac{1}{x} \, dx \)。
解题思路：
1. 理解反常积分：反常积分是指积分区间包含无穷大或无穷小的积分。在本题中，由于 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处无定义，我们需要考虑 \( x = 0 \) 为无穷小的反常积分。
2. 计算不定积分：首先，我们计算 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 的不定积分，得到 \( \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C \)，其中 \( C \) 为积分常数。
3. 处理反常积分：由于 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处无定义，我们不能直接在 \( x = 0 \) 处进行积分。因此，我们将积分区间分成两部分：从 \( 1 \) 到 \( e^2 \) 的正常积分，和从 \( 1 \) 到 \( 0 \) 的反常积分。
4. 计算结果：对于正常积分部分，我们有 \( \int_1^{e^2} \frac{1}{x} \, dx = \ln(e^2) - \ln(1) = 2 \)。对于反常积分部分，由于 \( \lim_{b \to 0^+} \int_b^1 \frac{1}{x} \, dx = \lim_{b \to 0^+} (\ln(1) - \ln(b)) = \infty \)，这部分积分发散。
综上所述，原反常积分 \( \int_1^{e^2} \frac{1}{x} \, dx \) 发散。
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