2012年数一考研真题解析如下：
一、选择题
1. 解析：本题考查函数极限的计算。由洛必达法则可得：$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x}{1}=1$$
答案：A
2. 解析：本题考查函数的连续性。由于函数在x=0处有间断点，故连续性不成立。
答案：D
3. 解析：本题考查定积分的计算。根据定积分的性质，可得：
$$\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}(1-x^2)dx=\left[x-\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{2}{3}$$
答案：C
4. 解析：本题考查级数的收敛性。由于级数的一般项趋于0，故收敛。
答案：A
5. 解析：本题考查线性方程组的求解。通过高斯消元法，可得：
$$\begin{cases}
x_1+2x_2-x_3=3 \\
2x_1+4x_2-2x_3=6 \\
-x_1+x_2+x_3=0
\end{cases}$$
解得：$x_1=1, x_2=1, x_3=2$。
答案：B
二、填空题
1. 解析：本题考查函数的导数。由导数的定义可得：
$$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2x+h-2x}{h}=2$$
答案：2
2. 解析：本题考查二阶导数的计算。由二阶导数的定义可得：
$$f''(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2x+2h-2x}{h}=2$$
答案：2
3. 解析：本题考查行列式的计算。由行列式的性质可得：
$$\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{vmatrix}=1\cdot(5\cdot9-6\cdot8)-2\cdot(4\cdot9-6\cdot7)+3\cdot(4\cdot8-5\cdot7)=6$$
答案：6
4. 解析：本题考查幂级数的收敛区间。由收敛半径公式可得：
$$R=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{(-1)^nx^n}\right|=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{x}{n+1}\right|=0$$
故收敛区间为$(-\infty, +\infty)$。
答案：$(-\infty, +\infty)$
5. 解析：本题考查微分方程的求解。将方程变形为：
$$y'+y=\sin x$$
求解微分方程，可得：
$$y=\frac{1}{2}(\sin x-\cos x)$$
答案：$\frac{1}{2}(\sin x-\cos x)$
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