在考研数学中，三角函数的积分题往往考查学生的换元积分技巧和对基本积分公式的熟练程度。以下是一个关于三角函数积分的典型题目及其解答：
题目：计算积分 $\int \frac{1}{1+\tan^2 x} \, dx$。
解答：
1. 观察被积函数 $\frac{1}{1+\tan^2 x}$，可以将其与三角恒等式 $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ 结合，从而简化积分。
2. 进行换元，设 $u = \tan x$，则 $du = \sec^2 x \, dx$。
3. 代入换元，原积分变为 $\int \frac{1}{1+u^2} \, du$。
4. 这是一个标准的反正切函数的积分形式，其结果为 $\arctan u + C$。
5. 将换元前的变量 $u$ 替换回 $\tan x$，得到最终答案 $\arctan(\tan x) + C$。
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