在探索无穷乘积的奥秘时，不妨以以下考研例题为例：
题目：若已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛，求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$ 的收敛性。
解答：
首先，我们知道 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是著名的巴塞尔问题，其和为 $\frac{\pi^2}{6}$。现在，我们考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$。
根据比较判别法，如果 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，而 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 发散，且对于所有 $n$，都有 $0 \leq a_n \leq b_n$，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 也收敛。
在本题中，我们取 $a_n = \frac{1}{n^3}$，$b_n = \frac{1}{n^2}$。显然，$0 \leq a_n \leq b_n$ 对所有 $n$ 成立。因为 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 已知收敛，所以根据比较判别法，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$ 也收敛。
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