2022年考研数学二第三题：已知函数 \( f(x) = \frac{1}{x^2} + \ln(x) \)，求证：当 \( x > 0 \) 时，\( f(x) \) 在区间 \( (0, +\infty) \) 上单调递减。
证明：首先，求出函数 \( f(x) \) 的一阶导数：
\[ f'(x) = -\frac{2}{x^3} + \frac{1}{x} \]
接下来，分析导数的符号。由于 \( x > 0 \)，则 \( x^3 > 0 \) 和 \( x > 0 \)，所以 \( -\frac{2}{x^3} < 0 \) 和 \( \frac{1}{x} > 0 \)。因此，\( f'(x) = -\frac{2}{x^3} + \frac{1}{x} < 0 \)。
由于 \( f'(x) < 0 \) 在 \( (0, +\infty) \) 上恒成立，根据导数的定义，可以得出 \( f(x) \) 在 \( (0, +\infty) \) 上单调递减。
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