在19年考研数一真题的第21题中，我们遇到了一道关于多元函数微分学的题目。题目要求我们求函数 \( f(x, y) = x^2e^y \) 在点 \( (1, 0) \) 处沿向量 \( \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \) 的方向导数。
解题步骤如下：
1. 计算梯度：首先，我们需要求出函数 \( f(x, y) \) 的梯度 \( \nabla f \)。对于 \( f(x, y) = x^2e^y \)，我们有：
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = 2xe^y, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = x^2e^y
\]
因此，梯度 \( \nabla f = \begin{pmatrix} 2xe^y \\ x^2e^y \end{pmatrix} \)。
2. 在点 \( (1, 0) \) 处求梯度：将 \( x = 1 \) 和 \( y = 0 \) 代入梯度公式中，得到：
\[
\nabla f(1, 0) = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 \cdot e^0 \\ 1^2 \cdot e^0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}
\]
3. 计算方向导数：方向导数是梯度与方向向量的点积。向量 \( \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \) 的单位向量是 \( \mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \)。因此，方向导数为：
\[
D_{\mathbf{u}} f(1, 0) = \nabla f(1, 0) \cdot \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 2}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}
\]
所以，函数 \( f(x, y) \) 在点 \( (1, 0) \) 处沿向量 \( \mathbf{v} \) 的方向导数是 \( \frac{4}{\sqrt{5}} \)。
【考研刷题通】——您的考研刷题小助手，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助您高效备考，轻松应对各类题目。立即体验，开启您的考研刷题之旅！微信小程序搜索：【考研刷题通】，让学习更轻松！