考研数学1995年第四题是一道关于线性代数的题目，主要考察了矩阵的秩、线性方程组的解以及矩阵的逆等知识点。下面是对该题的详细讲解：
题目：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的逆矩阵 \( A^{-1} \)。
解答步骤如下：
1. 首先计算矩阵 \( A \) 的行列式 \( \det(A) \)。由于 \( A \) 是一个上三角矩阵，其行列式等于对角线元素的乘积，即 \( \det(A) = 1 \times 5 \times 9 = 45 \)。
2. 接下来，我们需要求出矩阵 \( A \) 的伴随矩阵 \( A^* \)。伴随矩阵的元素 \( A_{ij} \) 是由 \( A \) 的 \( (i,j) \) 元素去掉后，剩下的 \( 2 \times 2 \) 子矩阵的行列式乘以 \( (-1)^{i+j} \) 得到的。对于本题，伴随矩阵 \( A^* \) 如下：
\[
A^* = \begin{bmatrix} 5 \times 9 & -2 \times 6 & 4 \times 6 \\ -4 \times 9 & 1 \times 9 & -3 \times 6 \\ 4 \times 6 & -2 \times 5 & 1 \times 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 & -12 & 24 \\ -36 & 9 & -18 \\ 24 & -10 & 5 \end{bmatrix}
\]
3. 最后，根据公式 \( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} A^* \)，我们可以得到矩阵 \( A \) 的逆矩阵 \( A^{-1} \)：
\[
A^{-1} = \frac{1}{45} \begin{bmatrix} 45 & -12 & 24 \\ -36 & 9 & -18 \\ 24 & -10 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{4}{15} & \frac{8}{15} \\ -\frac{4}{5} & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5} \\ \frac{8}{15} & -\frac{2}{15} & \frac{1}{15} \end{bmatrix}
\]
通过以上步骤，我们成功求出了矩阵 \( A \) 的逆矩阵 \( A^{-1} \)。
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