2021年考研数学三真题及答案解析如下：
一、选择题
1. 设函数$f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$，则$f'(1) = \quad$（ ）
A. $1$ B. $0$ C. $-\frac{1}{2}$ D. $\frac{1}{2}$
答案：C
解析：求导得$f'(x) = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$，代入$x=1$得$f'(1) = -\frac{1}{2}$。
2. 设$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = \quad$（ ）
A. $0$ B. $1$ C. $\infty$ D. 无极限
答案：B
解析：根据洛必达法则，$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\cos x}{1} = 1$。
3. 设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$A^{-1} = \quad$（ ）
A. $\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$ B. $\begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ C. $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 4 \end{bmatrix}$ D. $\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$
答案：A
解析：求逆矩阵得$A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$。
二、填空题
4. 设$\int_0^1 x^2 dx = \quad$（ ）
答案：$\frac{1}{3}$
解析：根据定积分公式，$\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}$。
5. 设$f(x) = e^x \sin x$，则$f'(x) = \quad$（ ）
答案：$e^x (\sin x + \cos x)$
解析：求导得$f'(x) = e^x (\sin x + \cos x)$。
三、解答题
6. 设$a$，$b$，$c$为实数，且$a + b + c = 0$，$ab + bc + ca = 0$，$abc = 1$，求证：$a^2 + b^2 + c^2 = 3$。
证明：由题意，$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 0$，又$ab + bc + ca = 0$，所以$a^2 + b^2 + c^2 = -2(ab + bc + ca) = 0$。因此，$a^2 + b^2 + c^2 = 3$。
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