线性代数在考研数学二中占据着重要地位，证明题更是其中的难点。以下是一例线性代数证明题的解题思路：
题目：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \)，其中 \( a, b, c, d \) 为实数。证明：如果 \( A \) 是可逆的，那么 \( A \) 的行列式 \( \det(A) \) 不为零。
解题过程：
1. 首先，根据可逆矩阵的定义，若 \( A \) 是可逆的，则存在矩阵 \( B \) 使得 \( AB = BA = E \)，其中 \( E \) 是单位矩阵。
2. 由于 \( A \) 是可逆的，所以 \( \det(A) \neq 0 \)。假设 \( \det(A) = 0 \)，则根据行列式的性质，\( A \) 的列向量线性相关。
3. 设 \( A \) 的列向量为 \( \vec{v_1} \) 和 \( \vec{v_2} \)，则 \( \vec{v_1} = k\vec{v_2} \)（其中 \( k \) 为非零实数）。
4. 将 \( \vec{v_1} \) 和 \( \vec{v_2} \) 代入 \( AB = E \) 中，得到 \( A(k\vec{v_2}) = E \)。
5. 根据矩阵乘法运算，\( kA\vec{v_2} = E \)。由于 \( A \) 是可逆的，\( k \neq 0 \)。
6. 然而，这与 \( \det(A) = 0 \) 矛盾，因为 \( A \) 的列向量线性相关，所以 \( A \) 不可能是可逆的。
7. 因此，假设不成立，即 \( \det(A) \neq 0 \)。
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