在考研数学中，积分是至关重要的部分。以下是对一道典型积分真题的详细讲解：
题目：计算不定积分 $\int x^3 e^x dx$。
解题思路：
1. 首先，观察被积函数 $x^3 e^x$，可以发现它是一个乘积形式，其中 $x^3$ 是多项式，$e^x$ 是指数函数。
2. 根据积分的乘积法则，我们可以将原积分拆分为两个部分：$\int x^3 dx \cdot e^x$ 和 $x^3 \cdot \int e^x dx$。
3. 对于第一部分，$\int x^3 dx$，我们可以直接使用幂函数的积分公式，得到 $\frac{x^4}{4}$。
4. 对于第二部分，$\int e^x dx$，由于指数函数的积分仍然是指数函数，所以直接得到 $e^x$。
5. 将两部分的结果相乘，得到 $\frac{x^4}{4} \cdot e^x$。
最终答案：$\int x^3 e^x dx = \frac{x^4}{4} e^x + C$，其中 $C$ 是积分常数。
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