北京大学2025年数学分析考研真题解析如下：
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 设函数$f(x) = \frac{x^2}{1+x^2}$，则$f'(0)$的值为（ ）
A. 1 B. 0 C. -1 D. 不存在
2. 设$f(x) = \ln x$，则$f''(1)$的值为（ ）
A. 1 B. 0 C. -1 D. 不存在
3. 设$a>0$，则$\lim_{x\to\infty}\frac{a^x}{x^a}$的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 无穷大 D. 无穷小
4. 设$f(x) = e^x \sin x$，则$f'(0)$的值为（ ）
A. 1 B. 0 C. -1 D. 不存在
5. 设$f(x) = \frac{1}{x^2+1}$，则$f'(0)$的值为（ ）
A. 1 B. 0 C. -1 D. 不存在
二、填空题（每题5分，共20分）
6. 设$f(x) = \ln x$，则$f'(x) = \frac{1}{x}$，$f''(x) = \frac{-1}{x^2}$。
7. 设$a>0$，则$\lim_{x\to\infty}\frac{a^x}{x^a} = 0$。
8. 设$f(x) = e^x \sin x$，则$f'(x) = e^x \cos x + e^x \sin x$。
9. 设$f(x) = \frac{1}{x^2+1}$，则$f'(x) = \frac{-2x}{(x^2+1)^2}$。
10. 设$f(x) = \ln x$，则$f'(x) = \frac{1}{x}$。
三、解答题（每题20分，共60分）
11. （20分）求极限$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^3}$。
12. （20分）求函数$f(x) = e^x \sin x$的导数。
13. （20分）求函数$f(x) = \frac{1}{x^2+1}$的二阶导数。
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