2016年考研数学二第12题是一道典型的数列极限问题。题目内容如下：
已知数列$\{a_n\}$满足：$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{a_n^2+1}{a_n+1}$，求$\lim_{n\to\infty}a_n$。
解题过程如下：
首先，我们可以观察到数列$\{a_n\}$的递推关系式为：$a_{n+1}=\frac{a_n^2+1}{a_n+1}$。
接下来，我们尝试对递推关系式进行变形，以便求出极限。由于分子和分母都含有$a_n$，我们可以考虑将其同时除以$a_n$，得到：
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{a_n^2+1}{a_n(a_n+1)}=\frac{a_n^2+1}{a_n^2+a_n}=\frac{1+\frac{1}{a_n^2}}{1+\frac{1}{a_n}}$$
现在，我们注意到$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=0$，因此当$n$趋向于无穷大时，$\frac{1}{a_n}$可以忽略不计。所以，我们有：
$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{a_n^2}}{1+\frac{1}{a_n}}=1$$
由于$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=1$，我们可以得出结论：$\lim_{n\to\infty}a_n$存在，且$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}$。
接下来，我们要求出$\lim_{n\to\infty}a_n$的值。由于$a_{n+1}=\frac{a_n^2+1}{a_n+1}$，我们可以将$\lim_{n\to\infty}a_n$代入上式，得到：
$$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n^2+1}{a_n+1}=\frac{\lim_{n\to\infty}a_n^2+1}{\lim_{n\to\infty}a_n+1}$$
由于$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}$，我们可以将$\lim_{n\to\infty}a_n$代入上式，得到：
$$\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{\lim_{n\to\infty}a_n^2+1}{\lim_{n\to\infty}a_n+1}$$
将$\lim_{n\to\infty}a_n$记为$L$，上式可以简化为：
$$L=\frac{L^2+1}{L+1}$$
将上式进行变形，得到：
$$L^2+L=L^2+1$$
$$L=1$$
因此，$\lim_{n\to\infty}a_n=1$。
【考研刷题通】小程序，助你轻松备考，政治、英语、数学等全部考研科目，海量习题，精准定位薄弱环节，提高备考效率。立即加入我们，开启你的考研之旅！微信小程序搜索：【考研刷题通】，开启你的高效备考之旅！