2012年数学考研真题解析如下：
一、填空题
1. 设函数$f(x)=\frac{1}{x-1}$，则$f'(1)=\frac{1}{2}$。
2. 设矩阵$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，则$A^{-1}=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$。
3. 设数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=n^2-1$，则$\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\infty$。
二、选择题
1. 若$A$为$n$阶可逆矩阵，$B$为$n$阶非可逆矩阵，则$AB$为（ ）
A. 可逆矩阵
B. 非可逆矩阵
C. 不可逆矩阵
D. 无法确定
答案：B
2. 设函数$f(x)=\sin x$，则$f'(0)=\cos 0=1$。
三、解答题
1. 已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，求$f'(x)$。
解：$f'(x)=3x^2-3$。
2. 求下列极限：
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}$
$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^2+1}{x^2-1}$
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln x}{x}$
答案：
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$
$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^2+1}{x^2-1}=1$
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln x}{x}=0$
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