2022年考研数三真题解析如下：
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 若函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x$在$x=1$处的切线斜率为3，则$f'(1) = \boxed{3}$。
2. 设$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{x} = L$，则$L = \boxed{5}$。
3. 已知矩阵$\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$的逆矩阵为$\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}$，则$a = \boxed{2}, b = \boxed{-1}, c = \boxed{1}, d = \boxed{0}$。
4. 若级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$收敛，则级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}$也收敛，正确与否？答案：正确。
二、填空题（每题5分，共20分）
1. 若$f(x) = e^x + \ln x$，则$f'(x) = \boxed{e^x + \frac{1}{x}}$。
2. $\int_0^{\pi} \sin x \, dx = \boxed{2}$。
3. 方程$2x^2 - 5x + 2 = 0$的解为$x = \boxed{2}, x = \boxed{\frac{1}{2}}$。
4. 矩阵$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$的行列式值为$\boxed{0}$。
三、解答题（共100分）
1. 解微分方程$\frac{dy}{dx} = 2x^2 + y$。
2. 求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x$的极值。
3. 求积分$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \, dx$。
4. 求线性方程组$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{bmatrix}$的解。
5. 求幂级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2}$的收敛域。
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