考研数学一2003年真题解析如下：
一、选择题解析
1. 题目：设函数$f(x)=\frac{1}{x}-\ln x$，其中$x>0$。则下列说法正确的是（）
解析：$f'(x)=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}=\frac{-1-x}{x^2}<0$，故函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减。又因为$f(1)=1-0=1$，$f(e)=\frac{1}{e}-1<0$，所以函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上只有一个零点，故选D。
2. 题目：已知矩阵$A=\begin{bmatrix}1&-2\\2&3\end{bmatrix}$，则$A^2$的行列式值为（）
解析：$A^2=\begin{bmatrix}1&-2\\2&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-2\\2&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1-4&-2-6\\2-6&3-4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3&-8\\-4&-1\end{bmatrix}$，$\det(A^2)=(-3)\times(-1)-(-8)\times(-4)=-7$，故选B。
二、填空题解析
1. 题目：设$f(x)=\sin x+\cos x$，则$f'(x)=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$。
解析：$f'(x)=\cos x-\sin x=\sqrt{2}\sin(x-\frac{\pi}{4})$，故填$\sqrt{2}\sin(x-\frac{\pi}{4})$。
2. 题目：已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=n^2-n+1$，则数列的前$n$项和$S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。
解析：$S_n=1^2-1+1+2^2-2+1+\ldots+n^2-n+1=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$，故填$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。
三、解答题解析
1. 题目：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求$f'(x)$。
解析：$f'(x)=3x^2-6x+4$。
2. 题目：已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3^n-2^n$，求$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$。
解析：$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+1}-2^{n+1}}{3^n-2^n}=3$。
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