在考研数学证明题的第一问中，通常要求考生运用基本的数学原理和定理，对给定的问题进行逻辑推理和证明。以下是一个原创的考研数学证明题第一问的示例：
题目：证明：若函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) 在实数域 \( \mathbb{R} \) 上连续，且 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)，则存在唯一的 \( x_0 \in \mathbb{R} \) 使得 \( f(x_0) = 0 \)。
解答：
首先，由于 \( f(x) \) 是一个多项式函数，它在实数域 \( \mathbb{R} \) 上连续，且 \( f'(x) \) 也为多项式，故 \( f'(x) \) 在 \( \mathbb{R} \) 上连续。
接下来，考虑 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)。显然，\( f'(x) \) 在 \( x = 1 \) 时为零，即 \( f'(1) = 0 \)。此外，由于 \( f'(x) \) 是一个二次多项式，其图像为开口向上的抛物线，因此 \( f'(x) \) 在 \( x = 1 \) 左侧为负，右侧为正。
根据罗尔定理，存在 \( \xi \in (0, 1) \) 使得 \( f'(\xi) = 0 \)。这意味着 \( f(x) \) 在 \( x = \xi \) 处取得局部极值。
由于 \( f(0) = 2 \) 和 \( f(2) = 2 \)，而 \( f(x) \) 在 \( x = \xi \) 处取得局部极值，根据费马定理，\( f'(\xi) = 0 \)。
最后，由于 \( f(x) \) 在 \( \mathbb{R} \) 上连续，且 \( f(x) \) 在 \( x = \xi \) 处取得局部极值，根据介值定理，存在唯一的 \( x_0 \in \mathbb{R} \) 使得 \( f(x_0) = 0 \)。
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