20考研数学二答案如下：
一、选择题（每题5分，共10分）
1. A
2. B
二、填空题（每题5分，共10分）
3. π/2
4. 3
三、解答题（每题15分，共45分）
5. 解：设f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求导得f'(x) = 3x^2 - 6x + 4。令f'(x) = 0，解得x = 1 或 x = 2/3。因此，f(x)在x = 1时取得极小值f(1) = -1，在x = 2/3时取得极大值f(2/3) = 0。所以f(x)的最小值为-1。
6. 解：设y = e^(ax^2 + bx + c)，求导得y' = 2axe^(ax^2 + bx + c) + b。令y' = 0，得2axe^(ax^2 + bx + c) + b = 0。因为e^(ax^2 + bx + c)不为0，所以2ax + b = 0。解得a = -b/2x。代入原方程，得e^(c) = 1。因此，c = 0。所以y = e^(-x^2/2)。
7. 解：设函数F(x, y) = x^2 + y^2 - 4x + 8y + 10，求F(x, y)在点(2, -2)处的切平面方程。求偏导数得F_x = 2x - 4，F_y = 2y + 8。在点(2, -2)处，F_x(2, -2) = 0，F_y(2, -2) = 0。所以切平面方程为z = 2x - 2y + 4。
四、证明题（每题15分，共30分）
8. 证明：设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求导得f'(x) = 3x^2 - 6x + 4。因为f'(x) = 0的解为x = 1 或 x = 2/3，且f''(x) = 6x - 6，f''(1) = 0，f''(2/3) = -2，所以f(x)在x = 1处取得极大值，在x = 2/3处取得极小值。因此，f(x)在(-∞, 2/3)上单调递减，在(2/3, 1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递减。又因为f(0) = -1，f(1) = 0，f(2) = 3，所以f(x)在(-∞, 2/3)上的最小值为-1，在(2/3, 1)上的最大值为0，在(1, +∞)上的最小值为0。
9. 证明：设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求导得f'(x) = 3x^2 - 6x + 4。因为f'(x) = 0的解为x = 1 或 x = 2/3，且f''(x) = 6x - 6，f''(1) = 0，f''(2/3) = -2，所以f(x)在x = 1处取得极大值，在x = 2/3处取得极小值。因此，f(x)在(-∞, 2/3)上单调递减，在(2/3, 1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递减。又因为f(0) = -1，f(1) = 0，f(2) = 3，所以f(x)在(-∞, 2/3)上的最小值为-1，在(2/3, 1)上的最大值为0，在(1, +∞)上的最小值为0。
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