考研数学真题详细答案如下：
一、选择题
1. 答案：B
解析：根据题意，求导数，可得$f'(x) = 2x + 1$，代入$x=2$，得$f'(2) = 5$。
2. 答案：D
解析：利用等差数列求和公式，$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，代入$a_1=1$，$a_n=2n-1$，$n=10$，得$S_{10} = 55$。
3. 答案：C
解析：由题意知，$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x} = 1$，则$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$。
4. 答案：A
解析：由题意知，$f(x)$在$x=0$处连续，则$\lim_{x\rightarrow0}f(x) = f(0)$，即$\lim_{x\rightarrow0}(x^2 + 1) = 1$。
5. 答案：B
解析：根据题意，$\int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}$，$\int_0^1 x^3 dx = \frac{1}{4}$，$\int_0^1 x^4 dx = \frac{1}{5}$。
二、填空题
1. 答案：$2\pi$
解析：根据题意，$I = \int_0^{2\pi} f(x) dx$，由于$f(x)$是以$2\pi$为周期的函数，故$I = \int_0^{\pi} f(x) dx + \int_{\pi}^{2\pi} f(x) dx = 2\int_0^{\pi} f(x) dx$。
2. 答案：$-\frac{1}{2}$
解析：根据题意，$f(x)$在$x=0$处可导，则$f'(0) = \lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}}{x} = -\frac{1}{2}$。
3. 答案：$-4$
解析：根据题意，$f(x)$在$x=2$处可导，则$f'(2) = \lim_{x\rightarrow2}\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x\rightarrow2}\frac{x^2 - 4}{x - 2} = -4$。
三、解答题
1. 答案：
解：设$f(x) = \int_0^x g(t) dt$，则$f'(x) = g(x)$。由题意知，$f(0) = 0$，$f'(0) = g(0) = 1$。因此，$f(x) = x + C$，代入$f(0) = 0$，得$C = 0$，所以$f(x) = x$。
2. 答案：
解：设$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$，则$A^2 = \begin{bmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{bmatrix}$。由题意知，$A^2$是可逆的，即$ad - bc \neq 0$。
3. 答案：
解：设$A$为$n$阶可逆矩阵，$B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$，则$AB = BA = A$。
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