2023年考研数学一真题答案及解析如下：
一、选择题（每题5分，共25分）
1. 若函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x$在$x=1$处可导，则$f'(1) = \underline{\text{（ ）}}$
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
解析：由$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，得$f'(1) = 3 - 6 + 4 = 1$，故选D。
2. 若$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}$的值为$\underline{\text{（ ）}}$
A. 2 B. 4 C. 0 D. 无穷大
解析：由$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，得$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1$，进而得$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2$，故选B。
3. 设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，$B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$，则$AB$的行列式值为$\underline{\text{（ ）}}$
A. 0 B. 1 C. 2 D. 10
解析：$AB = \begin{bmatrix} 1 \times 5 + 2 \times 7 & 1 \times 6 + 2 \times 8 \\ 3 \times 5 + 4 \times 7 & 3 \times 6 + 4 \times 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}$，$\text{det}(AB) = 19 \times 50 - 43 \times 22 = 0$，故选A。
4. 若$y = \sin x$，则$\frac{dy}{dx} = \underline{\text{（ ）}}$
A. $\cos x$ B. $-\cos x$ C. $\sin x$ D. $-\sin x$
解析：$\frac{dy}{dx} = \cos x$，故选A。
5. 若$y = x^3 - 3x^2 + 4x$，则$\frac{d^2y}{dx^2} = \underline{\text{（ ）}}$
A. $6x - 6$ B. $6x^2 - 6$ C. $6x^2 - 12x + 12$ D. $6x^2 - 12x$
解析：$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x + 4$，$\frac{d^2y}{dx^2} = 6x - 6$，故选A。
二、填空题（每题5分，共25分）
6. 设$f(x) = \frac{x^3 - 3x^2 + 4x}{x - 1}$，则$f'(1) = \underline{\text{（ ）}}$
解析：由洛必达法则，$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3x^2 + 4x}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{3x^2 - 6x + 4}{1} = 1$，故$f'(1) = 1$。
7. 若$f(x) = e^x + \sin x$，则$f'(x) = \underline{\text{（ ）}}$
解析：$f'(x) = e^x + \cos x$。
8. 设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，$B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$，则$AB = \underline{\text{（ ）}}$
解析：$AB = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}$。
9. 若$y = \ln x$，则$\frac{d}{dx}(\ln x) = \underline{\text{（ ）}}$
解析：$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$。
10. 若$y = x^3 - 3x^2 + 4x$，则$\frac{d^2}{dx^2}(x^3 - 3x^2 + 4x) = \underline{\text{（ ）}}$
解析：$\frac{d^2}{dx^2}(x^3 - 3x^2 + 4x) = 6x - 6$。
三、解答题（共70分）
11. 设$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x$，求$f'(x)$。
解析：$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$。
12. 求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。
解析：由洛必达法则，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$。
13. 设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，$B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$，求$AB$。
解析：$AB = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}$。
14. 求函数$y = \sin x$的导数。
解析：$\frac{dy}{dx} = \cos x$。
15. 求函数$y = x^3 - 3x^2 + 4x$的二阶导数。
解析：$\frac{d^2y}{dx^2} = 6x - 6$。
【考研刷题通】——考研刷题小程序，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助你轻松备战考研！微信搜索“考研刷题通”，开启你的考研之旅！