2018年考研数学二真题及解析如下：
一、选择题
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$，则$f'(x)$的零点为（ ）
A. $x = -1$
B. $x = 1$
C. $x = -2$
D. $x = 2$
解析：$f'(x) = 3x^2 - 3$，令$f'(x) = 0$，解得$x = \pm 1$，故选A。
2. 若$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$的值为（ ）
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$
解析：$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} = 1 \cdot 1 = 1$，故选A。
3. 已知函数$f(x) = x^2 - 4x + 5$，则$f'(x)$的值在区间$(-\infty, 2)$内为（ ）
A. 正数
B. 负数
C. 零
D. 无法确定
解析：$f'(x) = 2x - 4$，当$x < 2$时，$f'(x) < 0$，故选B。
二、填空题
1. 设$a = \frac{1}{2}, b = \frac{1}{3}$，则$(a - b)^2$的值为______。
解析：$(a - b)^2 = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right)^2 = \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36}$。
2. 设$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{x}$的值为______。
解析：$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin^2 x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2}{x} = 1$。
三、解答题
1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$，求$f'(x)$和$f''(x)$。
解析：$f'(x) = 3x^2 - 3$，$f''(x) = 6x$。
2. 求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x - \sin x}{x^2}$。
解析：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x - \sin x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos 2x\sin x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos 2x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \sin x = 2 \cdot 0 = 0$。
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