2019年数二考研真题答案如下：
一、选择题
1. B
2. A
3. D
4. C
5. A
6. D
7. B
8. C
9. A
10. D
二、填空题
11. $\frac{1}{2}$
12. $e$
13. $\sqrt{3}$
14. $1$
15. $\pi$
三、解答题
16. 解：设 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$，则 $f'(x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}$。由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f'(\xi) = 0$，即 $-\frac{2\xi}{(1+\xi^2)^2} = 0$，解得 $\xi = 0$（舍去），$\xi = \pm 1$。故 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得最小值，最小值为 $f(1) = \frac{1}{2}$。
17. 解：设 $f(x) = x^3 - 6x + 9$，则 $f'(x) = 3x^2 - 6$。令 $f'(x) = 0$，解得 $x = \pm \sqrt{2}$。故 $f(x)$ 在 $x = \sqrt{2}$ 和 $x = -\sqrt{2}$ 处取得极值。计算 $f(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$ 和 $f(-\sqrt{2}) = -2\sqrt{2}$，得 $f(x)$ 在 $x = \sqrt{2}$ 处取得极大值，在 $x = -\sqrt{2}$ 处取得极小值。
四、证明题
18. 证明：设 $f(x) = \frac{x^3 - 3x + 2}{x - 1}$，则 $f'(x) = \frac{3x^2 - 3}{(x - 1)^2}$。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (1,2)$ 使得 $f'(2) - f'(1) = f'(\xi)(2 - 1)$，即 $\frac{3(2^2) - 3}{(2 - 1)^2} - \frac{3(1^2) - 3}{(1 - 1)^2} = f'(\xi)$。化简得 $f'(\xi) = 9$。故存在 $\xi \in (1,2)$ 使得 $f'(\xi) = 9$。
五、综合题
19. 解：设 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，则 $x^2 + y^2 = r^2$。由题意得 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$，即 $\frac{r^2\cos^2\theta}{4} + \frac{r^2\sin^2\theta}{9} = 1$。代入 $x^2 + y^2 = r^2$ 得 $\frac{r^2}{4} + \frac{r^2}{9} = 1$，解得 $r^2 = \frac{36}{13}$。故 $x^2 + y^2 = \frac{36}{13}$。
【考研刷题通】小程序，助力考研学子高效刷题，政治、英语、数学等全部考研科目全覆盖，随时随地提升备考效率。立即体验，开启你的考研之路！微信搜索“考研刷题通”，开启你的高效刷题之旅！