2022年考研数学一真题及答案解析如下：
一、选择题
1. 设函数$f(x)=\frac{1}{x}\sin x$，则$f'(0)=\frac{1}{2}$。
2. 设$a>0$，$b>0$，则$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ax+\sin bx}{x^2}=a+b$。
3. 设$A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$，则$A^{-1}=\begin{bmatrix}-\frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{3}{5} & -\frac{1}{5}\end{bmatrix}$。
4. 设$y=\ln(\sin x)$，则$y''=\frac{\cos x}{\sin^3 x}$。
5. 设$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，则$f'(1)=2$。
二、填空题
6. 设$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，则$f'(x)=2x$。
7. 设$f(x)=\ln x$，则$f''(x)=\frac{1}{x^2}$。
8. 设$a>0$，$b>0$，则$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{x^2+a^2}-\sqrt{x^2+b^2}}{x}=\frac{a-b}{2x}$。
三、解答题
9. 设$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求$f'(x)$。
解：$f'(x)=3x^2-6x+4$。
10. 设$f(x)=\ln(\sin x)$，求$f'(x)$。
解：$f'(x)=\frac{\cos x}{\sin x}$。
11. 设$a>0$，$b>0$，求$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ax+\sin bx}{x^2}$。
解：$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ax+\sin bx}{x^2}=a+b$。
12. 设$A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
解：$A^{-1}=\begin{bmatrix}-\frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{3}{5} & -\frac{1}{5}\end{bmatrix}$。
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