在2020年的考研数学二中，考生们面临的真题考验了他们的综合能力和应变技巧。其中，线性代数部分涉及了矩阵的秩、行列式计算、向量组的线性相关性等核心概念。解析几何方面，考察了空间解析几何中的曲面方程及曲线方程的求解。概率论与数理统计则侧重于随机变量的分布、期望、方差等基本概念的应用。考生在解题时，不仅要熟练掌握公式，更要注重解题思路的清晰和逻辑的严密。以下是对一道典型真题的原创解答：
题目：已知矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解答：
首先，我们需要求解特征多项式 \( \det(A - \lambda I) \)，其中 \( I \) 是单位矩阵，\( \lambda \) 是特征值。计算如下：
\[ A - \lambda I = \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda \end{bmatrix} \]
\[ \det(A - \lambda I) = (1-\lambda)(4-\lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2 \]
令 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)，解得 \( \lambda_1 = -1 \) 和 \( \lambda_2 = 2 \)。
接下来，分别求对应的特征向量。对于 \( \lambda_1 = -1 \)，解方程组：
\[ (A + I)\mathbf{x} = 0 \]
\[ \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
通过行简化得到 \( x_1 = -x_2 \)，所以特征向量可以取 \( \mathbf{\alpha}_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
对于 \( \lambda_2 = 2 \)，解方程组：
\[ (A - 2I)\mathbf{x} = 0 \]
\[ \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
通过行简化得到 \( x_1 = 2x_2 \)，所以特征向量可以取 \( \mathbf{\alpha}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
综上，矩阵 \( A \) 的特征值为 \( \lambda_1 = -1 \) 和 \( \lambda_2 = 2 \)，对应的特征向量分别为 \( \mathbf{\alpha}_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} \) 和 \( \mathbf{\alpha}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
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