2023年考研数学一真题解析如下：
一、选择题（每题5分，共10题）
1. 设函数$f(x) = \frac{1}{x} - \ln x$，则$f(x)$的极值点为：
A. $x=1$
B. $x=e$
C. $x=\frac{1}{e}$
D. $x=0$
答案：C
2. 下列函数中，连续且可导的是：
A. $f(x) = |x^2 - 1|$
B. $f(x) = \sqrt[3]{x}$
C. $f(x) = \frac{1}{x}$
D. $f(x) = e^x$
答案：D
二、填空题（每题5分，共5题）
3. $\int_0^1 x^2 e^x dx = \frac{1}{3}e$
4. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
5. 线性方程组$\begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ x - y = 1 \end{cases}$的解为$x=2, y=1$
6. $f(x) = x^3 - 3x$的导数为$f'(x) = 3x^2 - 3$
7. 矩阵$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$的行列式为$-2$
三、解答题（每题20分，共4题）
8. 求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x - 3x}{x^3}$
解：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x - 3x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{3\cos 3x - 3}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{3(1 - 3^2x^2/2! + 3^4x^4/4! - \cdots) - 3}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-9x^2/2! + 27x^4/4! - \cdots}{3x^2} = -\frac{3}{2}$
9. 求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$的极值
解：$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，令$f'(x) = 0$，得$x = 1, \frac{2}{3}$。当$x < \frac{2}{3}$时，$f'(x) > 0$；当$\frac{2}{3} < x < 1$时，$f'(x) < 0$；当$x > 1$时，$f'(x) > 0$。故$f(x)$在$x = \frac{2}{3}$处取得极大值$\frac{1}{27}$，在$x = 1$处取得极小值$-1$。
10. 求线性方程组$\begin{cases} 2x + 3y + z = 6 \\ x - y + 2z = 4 \\ 3x + 2y - z = 5 \end{cases}$的通解
解：将方程组写成增广矩阵形式，进行行变换，得$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$。故方程组的通解为$x = 1 - t, y = 1 + t, z = t$，其中$t$为任意常数。
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