2011年考研数学二第21题主要考察了线性代数中的矩阵运算。题目内容如下：
设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解答过程如下：
首先，计算矩阵 \( A \) 的特征多项式 \( \det(A - \lambda I) \)，其中 \( I \) 是单位矩阵，\( \lambda \) 是特征值。
\[ A - \lambda I = \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 & 3 \\ 4 & 5-\lambda & 6 \\ 7 & 8 & 9-\lambda \end{bmatrix} \]
计算行列式：
\[ \det(A - \lambda I) = (1-\lambda)\begin{vmatrix} 5-\lambda & 6 \\ 8 & 9-\lambda \end{vmatrix} - 2\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9-\lambda \end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix} 4 & 5-\lambda \\ 7 & 8 \end{vmatrix} \]
\[ = (1-\lambda)((5-\lambda)(9-\lambda) - 48) - 2(36 - 7\lambda) + 3(32 - \lambda - 35 + 7\lambda) \]
\[ = (1-\lambda)(\lambda^2 - 14\lambda + 9) - 72 + 14\lambda + 96 - 3\lambda + 105 - 21\lambda \]
\[ = \lambda^3 - 15\lambda^2 + 58\lambda - 72 \]
令 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)，解得特征值 \( \lambda_1 = 6 \)，\( \lambda_2 = 3 \)，\( \lambda_3 = 2 \)。
接下来，求对应的特征向量。
对于 \( \lambda_1 = 6 \)，解方程组 \( (A - 6I)\mathbf{x} = \mathbf{0} \)：
\[ \begin{bmatrix} -5 & 2 & 3 \\ 4 & -1 & 6 \\ 7 & 8 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
解得特征向量 \( \mathbf{\alpha}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
对于 \( \lambda_2 = 3 \)，解方程组 \( (A - 3I)\mathbf{x} = \mathbf{0} \)：
\[ \begin{bmatrix} -2 & 2 & 3 \\ 4 & -2 & 6 \\ 7 & 8 & -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
解得特征向量 \( \mathbf{\alpha}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
对于 \( \lambda_3 = 2 \)，解方程组 \( (A - 2I)\mathbf{x} = \mathbf{0} \)：
\[ \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 4 & -3 & 6 \\ 7 & 8 & -7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
解得特征向量 \( \mathbf{\alpha}_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \)。
综上所述，矩阵 \( A \) 的特征值为 \( \lambda_1 = 6 \)，\( \lambda_2 = 3 \)，\( \lambda_3 = 2 \)，对应的特征向量分别为 \( \mathbf{\alpha}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \)，\( \mathbf{\alpha}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)，\( \mathbf{\alpha}_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \)。
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