2022年考研数学二第3题如下：
题目：设函数 \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \)，求 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的泰勒展开式。
解答：由于 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处连续且可导，我们可以求出 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的各阶导数。首先，计算 \( f(0) \) 和 \( f'(0) \)：
\[ f(0) = \frac{1}{1+0^2} = 1 \]
\[ f'(x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2} \]
\[ f'(0) = -\frac{2 \cdot 0}{(1+0^2)^2} = 0 \]
继续求二阶导数 \( f''(x) \)：
\[ f''(x) = \frac{2(1+x^2)^2 - 2x \cdot 4x(1+x^2)}{(1+x^2)^4} = \frac{2 - 6x^2}{(1+x^2)^3} \]
\[ f''(0) = \frac{2 - 6 \cdot 0^2}{(1+0^2)^3} = 2 \]
同理，求三阶导数 \( f'''(x) \)：
\[ f'''(x) = \frac{-12x(1+x^2)^2 + 24x^3(1+x^2)}{(1+x^2)^5} = \frac{-12x + 12x^3}{(1+x^2)^3} \]
\[ f'''(0) = \frac{-12 \cdot 0 + 12 \cdot 0^3}{(1+0^2)^3} = 0 \]
根据泰勒公式，\( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的泰勒展开式为：
\[ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \ldots \]
\[ f(x) = 1 + 0 \cdot x + \frac{2}{2!}x^2 + 0 \cdot \frac{x^3}{3!} + \ldots \]
\[ f(x) = 1 + x^2 + \ldots \]
因此，\( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的泰勒展开式为 \( 1 + x^2 + \ldots \)。
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