2019年考研数学一真题解析如下：
一、选择题
1. 本题主要考查函数的定义域及性质，通过分析题干，我们可以得出函数的定义域为所有实数。再结合选项，可以得出正确答案为C。
2. 本题考查导数的定义及性质。根据题意，先求出导数，然后判断导数的符号。经过计算，可得正确答案为B。
3. 本题主要考查极限的计算。利用洛必达法则求解，得出正确答案为D。
二、填空题
4. 本题考查级数的收敛性。根据比值判别法，当$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=2$时，级数$\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛。因此，正确答案为2。
5. 本题考查多元函数的极值问题。先求出一阶偏导数，再求二阶偏导数。根据极值点的条件，可得出正确答案为$\left(-\frac{2}{3}, 0\right)$。
三、解答题
6. 本题考查定积分的计算。通过凑微分法，可以将积分表达式简化为基本积分形式，计算得出正确答案。
7. 本题考查矩阵的特征值与特征向量。首先求出特征方程，再求出特征值和特征向量。根据特征值和特征向量的定义，可以得出正确答案。
8. 本题考查微分方程的求解。根据微分方程的通解公式，求出微分方程的通解，再利用初始条件求出特解。
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