在考研数学真题中，线性代数部分常常考查矩阵的秩、逆矩阵以及行列式的性质。这类问题不仅考察了基础理论知识，还要求考生具备一定的计算能力。例如，一道典型的真题如下：
设矩阵 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，求矩阵 \(A\) 的逆矩阵。
解答此题，首先需要确认矩阵 \(A\) 是否可逆。根据行列式不为零的矩阵可逆的性质，计算 \(A\) 的行列式：
\[
\text{det}(A) = 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2
\]
由于行列式 \(\text{det}(A) \neq 0\)，矩阵 \(A\) 可逆。接下来，利用公式法求 \(A\) 的逆矩阵：
\[
A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}
\]
其中，\(a, b, c, d\) 分别是矩阵 \(A\) 的各元素。将 \(A\) 的元素代入公式，得到：
\[
A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix}
\]
因此，矩阵 \(A\) 的逆矩阵为 \(\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix}\)。
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