考研数学一历年证明题主要考察考生的逻辑推理能力和空间想象能力。以下是一些典型的考研数学一证明题类型及解题思路：
1. 数列极限证明：这类题目通常要求证明数列的极限存在，并求出其值。解题时，可以运用夹逼定理、单调有界原理等方法。
2. 函数极限证明：这类题目要求证明函数在某一点的极限存在，并求出其值。解题时，可以运用洛必达法则、泰勒公式等方法。
3. 无穷级数收敛性证明：这类题目要求证明无穷级数的收敛性，解题时，可以运用比值法、根值法、比较判别法等方法。
4. 空间几何证明：这类题目要求证明空间几何中的性质，解题时，可以运用向量、坐标、几何图形的性质等方法。
5. 导数与微分证明：这类题目要求证明函数在某一点的导数或微分存在，并求出其值。解题时，可以运用导数的定义、微分中值定理等方法。
以下是一个考研数学一证明题的示例：
题目：证明：若函数\( f(x) \)在区间\([a, b]\)上连续，且\( f(a) = f(b) \)，则存在\( \xi \in (a, b) \)，使得\( f'(\xi) = 0 \)。
解题过程：
由罗尔定理知，若函数\( f(x) \)在闭区间\([a, b]\)上连续，在开区间\((a, b)\)内可导，且\( f(a) = f(b) \)，则存在\( \xi \in (a, b) \)，使得\( f'(\xi) = 0 \)。
因此，只需证明\( f(x) \)在闭区间\([a, b]\)上连续，在开区间\((a, b)\)内可导即可。
由于\( f(x) \)在区间\([a, b]\)上连续，故在闭区间\([a, b]\)上连续。
又因为\( f(x) \)在区间\([a, b]\)上连续，故在开区间\((a, b)\)内可导。
综上所述，存在\( \xi \in (a, b) \)，使得\( f'(\xi) = 0 \)。
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