2025年考研数学一真题解析如下：
一、选择题（每题5分，共25分）
1. 设函数$f(x) = \frac{1}{x} - \ln x$，则$f'(x)$的值为：
A. $-\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x}$
B. $\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x}$
C. $-\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$
D. $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$
答案：A
2. 下列极限存在的是：
A. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$
B. $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$
C. $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}$
D. $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2}$
答案：B
3. 设$A$是$n$阶方阵，若$A^2 = 0$，则$A$的秩$r(A)$的最大值为：
A. 1
B. 2
C. n
D. n-1
答案：A
4. 设$y = e^x \sin x$，则$y'$的表达式为：
A. $e^x \cos x + e^x \sin x$
B. $e^x \cos x - e^x \sin x$
C. $e^x \sin x + e^x \cos x$
D. $e^x \sin x - e^x \cos x$
答案：D
5. 下列级数收敛的是：
A. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
B. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$
C. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$
D. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}$
答案：A
二、填空题（每题5分，共25分）
6. 设$f(x) = x^3 - 3x + 2$，则$f'(x)$的零点为______。
7. 设$A$是3阶方阵，若$A^3 = A$，则$A$的特征值为______。
8. 设$y = \ln(\sin x)$，则$y''$的值为______。
9. 设$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$是收敛的级数，则$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^2}$也是______。
10. 设$f(x) = \frac{1}{x^2}$，则$f''(x)$的值为______。
三、解答题（共50分）
11. （10分）求函数$f(x) = e^x \sin x$的极值。
12. （10分）设$A$是3阶方阵，$A^2 - 2A + E = 0$，求$A^{-1}$。
13. （15分）计算定积分$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin x \, dx$。
14. （15分）设$f(x) = \frac{1}{x^2}$，求$f(x)$的泰勒展开式。
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